2.粒子的状态(中)

粒子的状态(上)
粒子的状态(下)

延续上一节“说人话”的风格,我打算增加一波爷最爱的“太长不看”提示环节:对于内容比较干燥的部分,在题头加上“可以跳过,不影响阅读”提示,或者给出“太长不看”版本。


上一节我们知道了一个经典对象具有一系列确定的“属性”和与之对应的确定的“状态”,而一个小到量子尺度下的粒子或者粒子系统在测量它的某个属性时可能会依概率得到不同的结果,也就是说它不一定处在一个“测量某个属性时得到某个确定结果”的状态上,而是处在这些可能结果的叠加态上。

有小朋友就要问了:猫老师测量过程中到底发生了甚么事?

这节我们就先从这个问题玩起


测量

还是我们的这只任意的态 [公式] ,还是测量它的某个物理量 [公式] 。上节我们说

[公式](1)

翻译成人话就是我们测量这个系统[公式],可能得到[公式]等结果,得到结果[公式]的几率[公式],如果得到结果 [公式] ,则系统在 [公式] 态上。

什么叫“如果得到结果 [公式] ,则系统在 [公式] 态上”呢?前面给的不是态[公式]吗?

我们可以把态 [公式]看作态[公式][公式]…… [公式] 的叠加态。测量 [公式] 时,既可能得到 [公式] ,也可能得到 [公式] 。测得 [公式] ,这时系统就在 [公式] 态上,测得 [公式] ,这时系统就在 [公式]态上。这些都是有可能发生的,未测时乾坤未定,没有确定的属性自然也不在具有这些个确定属性的态上;测量完尘埃落定,得到一个确定的结果,系统也“坍缩”到了相应的本征态上。

数学语言上很简单,就这么个式子。但关于如何解释它,科学家们至今仍然争论不休,并且就测量问题发展出了不同的诠释。搬个砖:量子力学的8种诠释​mp.weixin.qq.com图标

理查德·费曼说过:“物理就是猜一个公式,发现它和实验吻合,至于公式背后的“哲学”,只是不同的人用不同的方式帮助自己理解和记忆。”

物理学是一门实验科学,只有实验才能证明或证伪一套学说。譬如贝尔不等式在实验结果中被违背,就证伪了局域隐变量理论。而尽管我本人最喜欢多世界诠释,但在没有实验可证明或证伪以上任一种诠释的当下,在本讲义中,还是让我们Shut down, and calculate吧!

测完一个,再测一个

这部分若觉枯燥可以跳过,不影响后续阅读

如果我们测完了 [公式] 还想测 [公式] 呢?

这句话有必要做一些更严谨的声明:是”测量并得到某一具体测量结果“的测量,还是简单地在系统中施加某个干预(比如加一个电场或磁场啦,或者开个双缝让电子通过啦之类)。这两者差别很大:前者可能会破坏系统的状态,使系统坍缩到某个测量结果的本征态上;而后者,在做最后的”得到结果的测量“前,系统的量子态并不被破坏。

如果是前者:”得到结果的测量“:

测完 [公式] 且得到某个结果后,系统坍缩在了这个结果对应的本征态上;再测量 [公式] ,就是对这个 [公式]的本征态测量b。

如果是后者,”给系统施加某个干预“:(这里虽然放在这一个小标题下,但不该叫”测量“了,再用”测量“一词很误导)

因为 [公式] 也有一系列本征态,一套相应的C.S.C.O(Complete set of commuting observables)

[公式] (2)

[公式] (3)

把(3)插进(1)( [公式]

[公式](4)

翻译成人话:对原先处于态 [公式] 上的这个系统先测量 [公式] ,再测量 [公式] ,两次测量结果分别为 [公式][公式] 的概率是 [公式] ,假如得到这么个结果,则系统在 [公式] 态上。

但如果换一下,我们先测 [公式] 再测 [公式] 呢?

[公式]/(5)

注意到由于 [公式][公式] 不一定相等,先测 [公式] 后测 [公式] ,和先测 [公式] 后测 [公式] ,得到同一组结果的几率是不一定一样的。并且由于测完 [公式] 后系统就坍缩到了 [公式] 的本征态上,测完 [公式] 后系统就坍缩到了 [公式] 的本征态上,先测 [公式] 后测 [公式] ,两套操作下来系统一定坍缩到 [公式]的本征态上;而先测 [公式] 再测 [公式] ,两套操作下来系统一定坍缩到 [公式] 的本征态上。

这么说太干了,我们来举个栗子:

举个栗子:测量电子的自旋

Part 1 施特恩-格拉赫实验

电子会自旋,在任意方向上测量电子的自旋,都可能得到自旋向上和自旋向下两种。有个著名的实验叫施特恩-格拉赫实验,他俩把一盒银原子加热到很高的温度,让它们从高温炉中发射出来,经过狭缝准直之后再经过一个在竖直方向上不均匀的磁场,最后落到屏上。

/这个实验好玩的地方在于,我们都知道,一个银原子,它长这个亚子:

/它的最外层是一个5s电子。我们知道一个s轨道的电子是没有轨道角动量的,一个电子没有角动量自然也就没有磁矩,没有磁矩那么磁场就影响不到它。那么经过不均匀磁场后的银原子束,当然过来的时候啥样出来还长啥样,过来的时候黑黢黢一小撮出来当然还是黑黢黢一小撮(纳米级的银颗粒都是黑色的噢~)。

然而,神 奇 的 事 情 发 生 了!

落到屏上的银原子,分裂成了两条斑纹!这说明磁场对银原子有影响,也就是说银原子有磁矩,不但有,它的磁矩方向还有两种分立的取向!后来我们知道了,这是由于电子有自旋磁矩——那个5s电子虽然没有轨道角动量,但它有自旋角动量。测它的自旋,有两种可能的结果:自旋向上和自旋向下,并且自旋量子数都是1/2(也就是说磁矩都是 [公式] )。

Part 2 连续玩施特恩-格拉赫实验

ok,现在我们就有了一个测量装置,可以测任意一束银原子的自旋。一堆从高温炉里出来的银原子是随机取向的,所以经过施特恩-格拉赫设计的不均匀磁场后自旋向上和向下的原子各占50%。并且我们的这个磁场当然怎么摆放都行,x方向的,y方向的,z方向的……都不影响。都是正负向各一半。

如果我们用这套装置,测完了电子在z方向的自旋后只保留自旋为正的那一部分电子,再测它在x方向上的自旋呢?

结果也是正负向各占一半。因为自旋为z+的电子其实处于x+和x-的叠加态:

[公式] (6)

(同样, [公式] )(7)

如果在这之后再只保留其中一种取向的电子,然后测它在z方向的自旋呢?

/结果还是正负向一半!因为,由(6)和(7),对于一个x方向自旋为正或者为负的电子,我们有

[公式](8)

于是, [公式] (9)

也就是说,不管你是x+还是x-电子,测量z方向的自旋时都是有一半的概率朝上,一半的概率朝下。

诶但是,通过第一个测量装置之后不是只有沿z方向自旋为正的电子了嘛,怎么到这里又出现了一半自旋为负的电子了呢?

这就是“测量”在捣鬼。当z+的电子经过x方向的测量仪器并且分别得到x+和x-两种结果后,原先的状态就被破坏了。这时x方向的自旋正负已经确定,原先的“ [公式][公式]叠加态”已经坍缩到了其中一个态上。所以,通过x方向的测量仪器后再进入z+方向的测量仪器的电子,就已经不再是从前那个z+电子了。

part 3 假如“Part 2 连续玩施特恩-格拉赫实验”的中间环节不做测量

如果我们去掉上面的这么一个环节“只保留其中一种取向的电子”,也就是说假如我们把磁场放在那,但不做测量,就只是在得到了z+的电子之后,先后经过x方向磁场、z方向磁场,那么最后显示在屏上的是什么情况呢?

结果是只有z-的电子。

[公式] (10)

反过来的话,

[公式](11)

我们发现先放置x方向磁场后放置z方向磁场,和先放置z方向磁场后放置x方向磁场,结果是不一样的。理论上,这种“先后顺序颠倒”结果不一样的情况,说明前后两个算符(在本例中, [公式][公式] )不“对易”。也就是

[公式]/什么叫”对易“?下回我们将由此说起。

方馆(小水站)的站主。可能是一只猫,也可能是一只鸽子。也可能是一只会用膜法变成鸽子的猫。不过谁知道它是一只会梦见自己变成了鸽子的猫,还是一只会梦见自己变成了猫的鸽子呢?
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