1.粒子的状态(上)

《小学二年级的量子力学课堂》系列:

粒子的状态(中)

粒子的状态(下)

《量子场论笔记》系列:

我的量子场论笔记(上)


一直想写一套最通俗易懂版的四大力学讲义,极尽“说人话”三字之美妙,让物理系学生和所有对相关内容感兴趣的童鞋不用在一片不明觉厉中点击右上角小红叉。(啊因为这就是我自己的看知乎日常)

我自己最崇拜的是费曼式的教学方法,物理图像是在第一位的。在提供直觉想象的快乐的同时注重理论的框架与联系,因正确的理论而“知道”一个物理过程会怎样进行。我还喜欢不仅教知识还从中谈科学方法,因为我自己就很喜欢在看书的时候不仅看书还看作者怎么写书,不仅弄明白理论还弄明白作者怎么做理论。(禁 止 套 娃

于是水平还很次的我啪的一下就写文章了,很快啊!开宗明义,这个系列以《小学二年级的xxx课堂》命名,希望毕导别给我发律师函。再用一句我很喜欢的话做卷首语:

Quaerendo invenietis.
(By seeking, you will discover.)
--Godel, Escher, Bach-An Eternal Golden Brai - Douglas R. Hofstadter


一、粒子的状态

“状态”:从经典说起

在经典世界里,假如我们有一个对象,这个对象的属性一定是确定的。你的对象身高160,她就不可能身高170;你的对象在t时刻和你在电影院,她就不可能同时在和隔壁哥哥夜跑。这就是说:在前一个例子中,你的对象处在身高160的态上,并且概率为1;在后一个例子中,你的对象处在“在t时刻的电影院里”的态上,并且概率为1。当然你也可能没有对象——你要么有对象(1个/2个/3个,……)要么没有对象(0个),结果必然是其中的某个确定状态——这当然也是个态,并且我们不妨把你没有对象的态叫做空态。

但是呢,你的对象可以同时具有很多组不同的属性,譬如说她可以既身高160,又体重50kg。我们测她的身高,得到160,再测她的体重,得到50kg。这是互不影响的。一个经典的粒子,我们已经学会了用很多物理量去描述它的属性:坐标x,动量p,能量E,角动量L,等等等等……

时间是一个比较特殊的。不管是在经典力学还是在普通的量子力学里都没有引入相对论。在普通量子力学里粒子的状态随时间演化,但时间不是一个物理量。到了量子场论里才把量子力学和相对论结合,然后有了克莱因-高登方程、狄拉克方程等等,在此不赘述。

量子力学:不确定的“状态”

到了一个粒子的大小、动量、能量极小的时候,这种确定性不再有了。取而代之的是测量结果的不确定,也就是粒子所处的状态的不确定。在我看来这如果要用一句话来解释什么是量子力学,这就是量子力学。

这个尺寸要小到什么程度呢?爱因斯坦为了解释光电效应而提出光量子假说,认为光有波粒二象性,

每个光子的能量 [公式] ,动量 [公式] ,其中E,P是我们通常用来描述粒子的属性,而 [公式] , [公式] 却是我们通常用来描述波的属性。

这本是针对光子的、为了解释实验现象而猜出来的假说,而德布罗意在此基础上顺势提出:一切东西都有波粒二象性!他把光量子公式调了个个:

[公式]

其中 [公式] 叫普朗克常量。这里 [公式] 可以是任意一个物理对象的“波长”。这就是说任意物理对象都有波动性,只是因为 [公式] 太小太小所以必须 [公式] 也很小很小才能表现得明显而已。

这里借此简要说明了多“小”的粒子才会有量子效应。

描述一个量子体系的状态

我们假如一个系统处在某个任意的状态 [公式] 上。注意这里“任意的态”,它不一定是“测量某个量之后得到某个值”的状态,它不一定能用这种语言描述。但反正它是一个态,用来描述这个系统。

就像概率可以按条件概率分解 [公式] ,其中 [公式] 是一组相互独立的、完备的、可以完全描述全部可能的事件一样;就像在数学上,一个向量可以在任意一套坐标系下分解一样;也正对应在数学上,任意一个函数我们可以用傅里叶变换把它们在时间和频率空间中变换, [公式] , [公式] 一样,这个状态也可以在不同的基底下分解。

接下来的阅读需要Bra-Ket符号的知识储备,我找了一个小学二年级难度的:Bra-Ket Notation​www.mathsisfun.com

假如我们有一套完备的基底,就像一个状态空间里的坐标系,我们就可以把这个态 [公式] 用它来表示。为了直觉上的审美愉悦(划掉),我们希望这个“坐标系”中的每一个“基坐标”都正好是“测量物理量 [公式] 得到结果 [公式] ”的这些态,这样我们这个抽象的态不就可以被用人话描述出来了嘛!

这个作为基底的态,我们用 [公式] 来表示。“测量物理量 [公式] 得到结果 [公式] ”这句话,翻译成数学语言:

[公式](1)

这里 [公式] 是个“算符”。因为这个[公式]我们对他测量 [公式] 时只会得到结果 [公式] 这个定值了,我们管它叫 [公式] 的本征态。[公式]是一套能描述这个系统的完备的基底(Complete set of commuting observables,简称C.S.C.O)说明

[公式] (2)

我们那个任意的态 [公式] 就可以在这个基底下分解:

[公式] (3)

并且由于[公式]

[公式] (4)

翻译成人话:我们测量这个系统[公式],可能得到[公式]等结果,得到结果 [公式] 的概率为 [公式] 。

这里我们定义系统[公式]在态 [公式] 上的概率 [公式] 。为什么要做个模的平方呢?因为玩一下(3)我们发现

[公式] (5)

一个系统处在自己这个态上的概率当然是1,一个向量点乘自己的共轭也不可能乘出负数(注意到左矢不单单是把右失转置一下,还要做复共轭)。[公式] 。这样由(5),在全体“状态空间”中找到粒子的概率为1,由 [公式] 定义的P是满足归一化的。

并且 [公式] 有可能是虚数。[公式]就像两个向量的内积一样,积完之后得到一个数,可以是实数,也可以是虚数。虚数在概率上没有意义。

描述的“语言”可以是矩阵、向量,也可以是波函数

到此我们说了经典系统的状态是确定的,也就是说测量一个物理量会给出确定的结果;而小到量子尺寸的系统的状态不一定是测量某个物理量得到一个特定结果的态,并且建立了一套语言来描述量子力学中粒子的状态。

这套bra-ket语言是很普遍的,可以放在向量空间里来理解,而假如某一套状态基底有无穷多个,相应的测量本征值也是连续值的时候则可以放到函数里理解。譬如测量粒子的坐标x,测量得到的结果是连续的,你可以在x轴上的任意位置发现粒子。而一个能得到确定结果(以x'为例)的态显然就是粒子确定处在x‘处而不会处在别处的那个态。这样的粒子在任意位置x处的概率密度一定是

[公式]

由于狄拉克函数 [公式] 在积分等于1,这个粒子在整个x轴上被找到的概率是归一化的。

这时我们前面的那个任意的量子态 [公式] 当然也能够用全体x的本征态来分解,我们把对应结果x‘的本征态标记为 [公式] ,这样我们的这个可爱的小 [公式] 可以分解为

[公式]

其中处在x'上的分量 [公式] ,因为x’是连续的,我们可以用一个函数 [公式] 来描述,我们叫它波函数。

方馆(小水站)的站主。可能是一只猫,也可能是一只鸽子。也可能是一只会用膜法变成鸽子的猫。不过谁知道它是一只会梦见自己变成了鸽子的猫,还是一只会梦见自己变成了猫的鸽子呢?
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