3.粒子的状态(下)

粒子的状态(上)
粒子的状态(中)

上一节我们小朋友们知道了“测量”在量子力学里是一个神奇的家伙,一旦测量一个系统,它原先的状态可能就被破坏了。为什么说“可能”呢?还有测量一个系统之后状态不被破坏的吗?

有!举个最简单的栗子,假如我们利用上节课讲到的施特恩-格拉赫实验装置测一个银原子在z方向上的自旋,得到了一个在z方向上自旋向上的结果。之后我们再测它在z方向上的自旋,当然还是自旋向上的。

这个栗子当然很naive,但是也启发我们:对一个处在状态 [公式] (假设它是测量a得到 [公式] 的态,数学语言叫“算符 [公式] 本征值为 [公式] 的本征态”)上的系统,能不能找到一些其他的可观测量,做这些测量时不破坏系统原本的状态?

这节我们就从这个问题玩起。


”对易“:我有不破坏系统状态的测量技巧

上节我们说到,对z方向上自旋为正的电子 [公式] ,先测 [公式]再测 [公式]

[公式](1)

而如果反过来先测先测 [公式] 再测 [公式] 呢?

[公式](2)

(1)(2)相减:

[公式] (3)

同样的操作,如果放在 [公式] 态上:

[公式] (4)(对称得还挺好看~)

我们发现测量操作的先后顺序不同,得到的结果不同((3)、(4)的右边都不是零!)。数学语言上,我们用

[公式](5)

来说明前后两个算符[公式][公式]不是“对易”的。 [公式] 和 [公式] 是我们经常用的两个符号,前者 [公式] 叫对易算符,后者 [公式] 叫反对易算符。如果 [公式] ,我们就说 [公式] 和 [公式] 对易;如果 [公式] ,我们就说 [公式] 和 [公式] 是反对易的。

对于自旋测量操作,(3)、(4)分别右乘 [公式] 、 [公式] 后相加,由于 [公式] ,我们得到:

[公式](6)

实际上,(6)右边的表达式除以 [公式] ,正是算符 [公式] 。(详见下方举个栗子:自旋测量问题小总结。我们先不着急,继续按顺序往前走~)

(这时聪明的小朋友们一定会联想到,不管是在物理实际中还是数学上,都确实存在这么一些操作,把它们顺序翻转一下,结果不一样。譬如,生活中,我们把手机先在桌子上顺时针转90度,再面朝自己立起来,和先把手机面朝自己立起来,再原地顺时针拧90度,是不一样的(三维旋转操作的非对易性)。在数学上,我们有“非对易”的操作如矩阵乘法。数学上再深入下去就是群论的知识了(阿贝尔群和非阿贝尔群)。现在在量子力学里,我们又看到了它的踪影!)

自旋算符是非对易的,所以顺序颠倒,测量结果不同。

聪明的小朋友们立即想到——假如我们能找到一组对易的算符,那么自然,拿它们先后测量一个系统,颠过来倒过去测量结果就都一样啦!对这样的一组算符对应的可观测量,由于先测谁都无所谓,所以我们说这一组可观测量(中文的”观测“可能有点误导,实际上它英文是observable,指”可以被测量“,不一定要用眼睛”看“,在相对论里也有这个误导)可以被”同时测量“。

也就是先测谁,后测谁,系统在前一次测量中的状态都不会被”破坏“了。

“一组完备、兼容的可观测量”

前面说到“因而,假如我们能找到一组对易的算符,那么自然,拿它们先后测量一个系统,颠过来倒过去测量结果就都一样啦!”,这就很自然地引出了一个概念:A Complete Set of Compatible Observables ——一组完备、兼容的可观测量。

C.S.C.O是一组相互对易的算符,它们的本征值可以完整地描述一个系统的状态。也就是说这个系统甭管处在什么状态上都能“以这组算符对应的本征态为基底”来分解。我们在第一节中也简单提到过,这组C.S.C.O对应的本征态(不失一般性,以 [公式] 表示)满足完备性条件:

[公式](7)

因而这个系统的任意一个态(不失一般性,以 [公式] 表示)都可以在它上面分解:

[公式](8)

举个栗子:自旋测量问题小总结

还是举自旋测量的栗子。小朋友们数一数,我们一共需要几个量来描述一个电子的自旋呢?首先,电子的总自旋必定是 [公式] 的。我们不知道的是这个自旋具体朝什么方向(当然它并不在某个“确定的方向”上,而是处在某个像前面的描述那样的量子态上)。我们就需要测量它在任意一个方向上的自旋到底朝上还是朝下。其次,由于 [公式] 不对易,这三个里我们只需要取一个就能构成一组C.S.C.O。最后,我们这里的 [公式] 是随便取的,也就是说——

事实上,“电子在任意的某个方向上的自旋”这一个可观测量就可以描述一个电子的自旋了:

[公式] (9)

其中 [公式] 表示任意方向 [公式] 上的自旋。

诶!

这时聪明的小朋友们可能就有疑问了:我们都知道自旋的方向是三维的,凭什么你一个方向上的自旋取向情况就能描述呢?

好问题!泡利也为此头疼过。首先,我们在三维空间里任意找一组直角座标系,由于自旋测量操作在 [公式] 方向上顺序颠倒结果会彻底不一样,我们不可能同时测量电子在不同方向上的自旋。但是不论基底怎么选取,我们表示出的这个量子态里必须包含有所有的内秉的物理信息。在(9)中, [公式] 和 [公式]这量个态是正交的,这就可以有两个维度了。第三个维度在哪里呢?

泡利引入了虚数。泡利想用矩阵和向量来描述自旋。取 [公式] 方向上自旋为正和为负的两个态为基底,加上虚数这一维,刚好就有三个维度,可以来描述一个三维空间中电子的自旋了!

同时,因为[公式] 和 [公式] 这两个态是正交的,我们会发现自旋在态空间上的分解,和一个三维矢量在直角座标系上的分解,是完全不一样的(三维直角座标中任一个方向上 [公式] ,和我们这里的自旋在态空间的分解完全不一样!)。并且自旋这个物理量还有一个特点,正向和负向的两个自旋的叠加态,对应另一个垂直方向上的自旋!

这个属性很神奇。但是回想一下,我们其实在经典物理里也见过一个类似的栗子:

大家还记得光的偏振吗?我们分解偏振光的时候,曾经把一个方向上的偏振光分解成左旋和右旋光。也就是说,一正一负两个旋向的圆偏振光,叠加成了另一个方向上的线偏振光。光的偏振和我们的问题确实也有一丢丢类似:还记得马吕斯定律吗?朝一个方向偏振的光,不可能通过一个偏振方向和它垂直的偏振片,而通过一个和偏振方向夹角45度的偏振片后的光强是原来的一半;但假如我们让它先通过一个45度的偏振片后再通过一个和原偏振方向夹角90度的偏振片,我们又发现了1/4能从中通过的偏振光!

所以作为类比你也可以这样想象我们自旋的态空间(至少Sakuraii就是这么想象的2333):

任意一个方向上自旋向上和自旋向下的两个态是彼此正交的,我们可以把它想象成一个 [公式] 坐标系(的基底)。以这个方向为 [公式] 方向,施特恩-格拉赫实验告诉我们,对应的 [公式] 方向上的自旋向上的态,对它测量 [公式] 时向上和向下的概率各占 [公式] 。那我们就可以把 [公式] 方向上自旋向上和向下的两个态想象成一个和 [公式] 系夹45度角的 [公式] 系。

同时,施特恩-格拉赫实验也告诉我们,对应的 [公式] 方向上的自旋向上的态,对它测量 [公式] 时向上和向下的概率也各占 [公式] 。(当然了!因为都和 [公式] 垂直嘛)但是显然我们没法在这个二维的平面上再找一组对应的基了。这时我们可以想象 [公式] 就像那个圆偏振光一样,只要在叠加时乘上一个相位因子 [公式] 就好啦!

直觉上,我们可以这么想象。数学上语言,我们这么写:

[公式] (10)

[公式] (11)

接下来我们想把算符 [公式] 也用数学语言写一写。因为:

[公式] (12)

[公式] (13)

我们对(12)、(13)分别右乘以 [公式] 和 [公式] ,再分别利用 [公式] 和 [公式] 各自的完备性(见(7):对一组C.S.C.O, [公式] ),就能得到:

[公式] (14)

[公式] (15)

这是它们分别在各自表象(基底。在量子力学里我们用“表象”这个术语)下的写法。如果我们利用(12)、(13)式把它们统统换到 [公式] 表象(基底)下呢?

[公式] (16)

[公式] (17)

在加上 [公式] 自己,类比(14),(15)式,聪明的小朋友们很容易写出:

[公式] (18)

这就是自旋测量问题用bra-ket语言的完整描述啦!

如果用矩阵的语言,同样以 [公式] 和 [公式] 为基底,我们这样写:

[公式] [公式] (19)

[公式] [公式] (20)

[公式] [公式] (21)

[公式][公式] [公式] (22)

这就是自旋测量问题用矩阵语言的完整描述啦!泡利把(22)中的 [公式] 除以 [公式] ,构造出三个矩阵:

[公式] [公式] [公式] (23)

叫做泡利矩阵。这三个矩阵满足一些神奇的性质:

1. [公式]

2. [公式]

在今后的课堂上我们会学到,自旋测量操作满足的这组对易关系其实是量子力学中角动量算符普遍都会满足的关系。那就先卖(放)个棺(鸽)子,我们下节课再见啦!

方馆(小水站)的站主。可能是一只猫,也可能是一只鸽子。也可能是一只会用膜法变成鸽子的猫。不过谁知道它是一只会梦见自己变成了鸽子的猫,还是一只会梦见自己变成了猫的鸽子呢?
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